Hildebrando Luque Freire
1. Calcular la serie: i0 + i1 + i2 + ...... i2009 (Recordar que i = √-1)
2. Sean los polinomios (x2 + ax + b) y (x2 + bx + c). Los coeficientes a, b, c son números enteros. El MCD de los dos polinomios es (x + 1) y el MCM es (x3 - 4x2 + x + 6). Hallar a, b, c.
3. Si tan x + tan y = 4 ; cot x + cot y = 5 calcular tan (x + y)
4. Un toroide de radio interno 2 m y radio externo 4 m descansa sobre una mesa horizontal. Hallar el radio de la esfera más grande que se pueda colocar sobre el toroide tal que la esfera toque al toroide y a la mesa.
Respuestas a "Los Problemas de la Semana (16)"
1. Con los datos de problema se puedes escribir las siguientes ecuaciones en función de las velocidades y la distancia d recorrida:
s + c = d/40 ; s - c = d/45 ; r - c = d/15
Luego: r + c = (s + c) - (s - c) + (r - c) = 25d/360
Finalmente: t = 360/25 minutos = 14.4 minutos = 14 minutos y 24 segundos
2. Los puntos que hay son: 3 + 2 +3 + 7 = 15 puntos
Cantidad de triángulos que se pueden formar: C(15, 3) = 455 triángulos
Los puntos que son colineales y NO pueden formar triángulos son:
C(2+2, 3) + C(2+3, 3) + C(2+7,3) = 4 + 10 + 84 = 98
Finalmente los triángulos posibles son 455 - 98 = 357 triángulos
3. Sea al cateto AB = x, el cateto BC = 2x y la hipotenusa AC = 3.
Usando el teorema de Pitágoras (2x)2 + x2 = 32 de donde x2 = 9/5
El área del triángulo ABC es: (x) (2x) /2 = x2 = 9/5 m2
4. Sea x la longitud de la tangente trazada desde el punto (2, 0) a la circunferencia de radio 1. Por Pitágoras se obtiene x = √3
La longitud de la menor trayectoria es igual a las dos tangentes más el arco de circunferencia de radio 1 y ángulo central de 60º.
Por tanto: x + x + 2π(1)/6 = 2√3 + π/3
Autor
Hildebrando Luque Freire
Asesor y consultor en educación. Autor de numerosos artículos y libros escolares de Matemáticas y Ciencias Naturales. Miembro de asociaciones dedicadas a la educación y las ciencias. Master en Ciencias de la Universidad de Colorado, EEUU. Profesor Principal de las Universidades Cayetano Heredia y San Marcos.
El Blog que les presento acerca del Desarrollo de Competencias en Matemáticas y Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) está dedicado a plantear propuestas a los profesores y padres que sirvan para motivar y mejorar sustantivamente los aprendizajes de los alumnos. Asimismo fomentamos la participación de los profesores y padres acogiendo sus propuestas y comentarios. Además, semanalmente se publicará la sección "Los Problemas de la Semana" de Matemáticas y Ciencias como retos y referencias de estándares.
