Hildebrando Luque Freire
1. Si x representa a cualquier número real, hallar el valor mínimo de (x2 - 2x)
2. Hallar la cifra de las unidades del número 72009
3. ¿Cuántas diagonales tiene todo polígono regular de 11 lados?
4. ¿Cuántos números entre 1 y 1 000 000 son cuadrados perfectos pero NO cubos perfectos?
Respuestas a "Los Problemas de la Semana (17)"
1. La suma de los términos de la serie es: S = (i2010 - 1)/(i - 1) = (i2008 i2 - 1)/(i - 1)
Pero i2008 = (i4)502 = (1)502 = 1 ; además i2 = -1
Luego: S = (-1 - 1)/ (i - 1) = (-2)/(i - 1) = 1 + i
2. Si (x + 1) es MCD de los polinomios, entonces.
(x2 + ax + b) = (x + 1) (x + b)
(x2 + bx + c) = (x + 1) (x + c) de lo cual se deduce que a = b + 1 = c + 2
Si (x3 - 4x2 + x + 6) es MCM de los polinomios, entonces.
(x + 1) (x + b) (x + c) = (x + 1) (x + b) (x + b - 1) = x3 - 4x2 + x + 6
De aquí se deduce que b = -2; por tanto a = -1, c = -3
3. cot x + cot y = 1/tan x + 1/tan y = (tan x + tan y)/tan x . tan y = 5
Luego tan x tan y = 4/5
tan (x + y) = (tan x + tan y)/(1 - tan x . tan y) = 20 tan (x + y) = 20
4. Haciendo la figura correctamente se obtiene un triángulo rectángulo de hipotenusa (R+1), catetos (R-1) y 3 donde R es el radio de la esfera.
Luego (R + 1)2 = (R - 1)2 + 32 de donde se obtiene que R = 5/2
Autor
Hildebrando Luque Freire
Asesor y consultor en educación. Autor de numerosos artículos y libros escolares de Matemáticas y Ciencias Naturales. Miembro de asociaciones dedicadas a la educación y las ciencias. Master en Ciencias de la Universidad de Colorado, EEUU. Profesor Principal de las Universidades Cayetano Heredia y San Marcos.
El Blog que les presento acerca del Desarrollo de Competencias en Matemáticas y Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) está dedicado a plantear propuestas a los profesores y padres que sirvan para motivar y mejorar sustantivamente los aprendizajes de los alumnos. Asimismo fomentamos la participación de los profesores y padres acogiendo sus propuestas y comentarios. Además, semanalmente se publicará la sección "Los Problemas de la Semana" de Matemáticas y Ciencias como retos y referencias de estándares.
